杰出的华人经济学家杨小凯于2004年已离开我们，可他的关于股市的非线性难题困惑却留给了生生不息的市场中人。

    凭着十年牢狱中艰苦卓绝的自学精神，杨小凯带着他的高等数学、自动控制和物理学等基础科学理念，杀入世界经济学前沿。他在对瓦尔拉斯序贯均衡模型(Walrasian Sequential Equlibrium Model)以及蛛网模型（Cobweb Model）的研究中，指出正是人的有限理性、反应的时滞造成了根本性的社会经济不确定性。以此他提出了市场经济中三个著名的唯一可预见的“不可预见性”：（1）蝴蝶效应的唯一可预见的特性就是“不可预见性”；（2）内在随机性的唯一可预见的特性就是“不可预见性”；（3）分岔现象的唯一可预见的特性就是“不可预见性”。^[1]

杨小凯说：“由于这些紊乱现象是股市这类变量高度相关（高度非线性）活动的特点，所以股市的基本特点就是不可预见性。如果你听到某人宣称可以根据他的分析在股市中赚钱的言论，你一定不可轻信他。”^[1]

那么，非线性问题究竟有多难？股市（期市）的混沌特性注定了市场参与者进行的只是一种纯粹随机的“公平赌博”吗？显然，这个非线性难关是需要金融工程界来回答和解决的现实问题。

1984年，由诺贝尔物理学奖获得者盖尔曼（Munay Gell-Man）和安德逊（Philip Anderson）、经济学奖获得者阿罗（Kenneth Arow）等人支持，组织了圣塔菲研究所（SFI），专门从事复杂科学的研究，试图由此找到一条迈向学科融合来解决复杂性问题的道路，其触角已触及到数理科学,生命科学,地球科学,环境科学以及信息科学等领域,已成为当代科学最活跃的前沿学科之一。在美国复杂科学的研究形成五个学派（表1）。^[2]英国有一个复杂科学论坛，论题包括突现的设计、复杂性理论的应用、复杂性与技术、创新的组织、组织设计等。

表1  美国复杂科学的研究形成五个学派

混沌理论用于经济学研究是由美国经济学家斯徒泽（Stuzer）于20世纪80年代初开始的。他于1980年发表的论文“一个宏观模型中的混沌动力学系统和分支理论”,将李－约克（Li-York）定理和分支技术应用于哈维尔默（Havelmo）增长模型,找到了该模型出现混沌的条件。之后，有越来越多的学者开始运用混沌等复杂性科学方法研究经济和金融系统,如 R.Day，May，Benhabib，Shafer, Wolff, Woodford, Deneekere, Poliman 等人在这方面做了不少工作。较早利用复杂性科学方法研究金融系统的是威廉巴尼特和陈平1987年发表的题为“加总理论的货币总量是混沌的并具有奇怪吸引子:数学混沌的经济计量应用”的论文。他们得出的结论是：迪维西货币总量在M2和M3水平上是混沌的。此后，有越来越多的国外学者利用复杂性科学方法研究金融市场问题, 国内学者也有一些学者对此进行了探讨。主要的研究状况综述见表2。^[3]总之，非线性研究金融市场问题能揭示一些传统统计学方法无法解释的“巨涨巨落”现象的本质和有序与无序的关系。

我们的研究表明，金融市场交易系统提供的各种高频数据与物理学研究体系在时空结构上有相当程度的严格对称性，价格涨落在行为金融学领域认为是市场参与者的有限理性预期，或“羊群效应”的作用，然而从物理学本质上来看，应该是系统结构中某一区域的构成介质（市场参与者）发生失稳，并伴随有应变能的加速释放（价格波动、暴涨、暴跌）。基于上述思想，我们在研究中构造了市场价格波动的特定动力因子，追随市场演化，结果发现市场的价格波动为有限尺度布朗运动，波动有转捩点（皮卡不动点存在），波动趋势可跟踪（杜布半鞅分解定理）。对股票、期货交易系统中相关品种的市场价格演化进行在线复杂系统建模，应用非线性动力学原理可以有效地跟踪其市场价格波动。结合与市场嵌合一致的投机原理（见“基于鞅与不动点的非线性动态规划投机原理”），可实现市场投机操作。

 

表2  复杂性科学研究金融市场情况汇总

注:(1)L.E. 是指Lyapunov指数； (2)BDS是一种统计方法的简称。

回顾一百多年来有关随机过程的探索历程，从随机游走连续化的布朗运动开始，历经标准伯努利序列的随机游走，巴舍里耶连续时间金融的《投机理论》，爱因斯坦布朗粒子运动方程，维纳过程，马尔柯夫过程，以及伊藤清随机积分，直到气象学家罗伦兹的奇异吸引子，还有曼德勃罗的多尺度海岸线，揭示出了内在随机性的奇妙世界，然后是里程碑性质的圣塔菲研究所的复杂科学系统研究。研究者们终于从一种纯粹数学的范式跃升到一个新的台阶，涌现（Emergence）出非线性动力系统的优化逼近算法。继续的探索是艰辛的，无论是大自然的江河流水、大气层，还是人类的心理意识流、群体行为效应，或金融商品流，只要是连续介质的流动，达到一定的速度，必将产生湍流。尽管这是一个满布陷阱的险滩，但仍有多少科学英雄壮士，在始终不懈地攻克一个个称作Picard孤立奇点、或Soliton孤波的堡垒。

    自然科学探索从经典牛顿力学、相对论、量子力学，到复杂系统科学，经过一轮大循环，又回到人类自身的行为复杂系统。股市、期市以及其它金融衍生产品市场，构成了行为金融活动的平台。在这里，新世纪的金融工程师们几乎囊括了当今所有高科技前沿理论，接受非线性难关的挑战。如果有人发现研究金融市场波动的专家走进了海啸预警专家的学术会场，不要以为他走错了大门，毫不奇怪的是的确因为在那里他们有着共同的交流语言。

    正如读一读钱钟书先生的“管锥篇”，确实能体会到他已走到了文学人生的边缘上，而现在我们将看到研究非线性科学的豪杰们也走到了各自工作领域的自组织临界点上，股市、期市的各路大侠们似乎也在市场变盘的刀锋口上狭路相逢。可以确信的是大家已站立在了非线性难题的关口，走出“幽谷关”吧，那将是一片海阔天空。值得一提的是，阿瑟（Arthur）于1994 年提出的赴酒吧模型(Bar Model) ；钱世锷和陈大庞于1994年发明时间频率分布级数，取得非稳态时间序列分析和非线性信号处理理论的突破。夏列特－张翼成(Challet- Zhang)于1997年提出的争当少数者博弈模型(Minority Game) ；谢彦波2004年深入研究了金融市场少数获胜博弈模型，并从平均场角度给出了涨落有限尺度效应的严格证明；姚顺天用不动点定理证明了有限理性模型中序贯均衡存在的条件；彭实戈等1990年求出了倒向随机微分方程的唯一解；石磊磊2004年应用量/价几率波方程揭示出一般均衡与价格随机游走只是两种极端情形。现在一个“金融市场开放系统的自适应控制投资模型”在方法上具有气象预报一样的数值分析、地震预测一样的物理原理和弹道导弹一样的航位推算（另见“金融市场开放交易系统的自适应控制投资模型的研究”）。

1967年，Benoit Mandelbrot^[4]发表了“不列颠的海岸线有多长，统计自相似性和分数维”一文，其中首先注意到更早的Richardson已经作出的研究：当用无穷小的尺度去测量海岸线时，会得出海岸线是无限长的令人困惑的结论。Mandelbrot把这一结果与周期为无限的曲线结构联系起来。这篇文章的结论令人惊诧：海岸线的长度是不确定的，它依赖于测量时使用的尺度。因为海岸线是弯曲中又包含更小的弯曲。用不同长度的直尺去测量海岸线，所得长度不同。

对于一个开放的金融市场交易系统，个体行为与整体行为之间也存在复杂的反馈作用，所有这些市场参与者之间的相互作用从表面上看是复杂的和非线性的，具有分形结构（Fractural structure）特征。不论是股票、期货价格波动的历史序列还是实时行情；不论是有百多年历史的美国证券期货市场，还是成熟的日本证券期货市场，或是新兴的中国证券期货市场，其价格波动方式完全一样，具有分数布朗运动特征。甚至广义的经济波动也是如此。

价格波动的有限尺度布朗运动是指在证券期货市场中，追踪价格波动的一种操作性概念，具体来说，是根据交易市场高频数据所构造的空间时序结构，选择与其相匹配的尺度并进行划分和变换，应用分形原理发掘标准布朗运动中的关联增量过程，从而发现相应尺度的有偏随机游走的趋势（上鞅或下鞅）。

我们近年研究和开发了“金融市场开放交易系统的自适应控制投资模型”，采纳广泛而有意义的数理原理，即连续博弈过程中所必须的工具，而不是预先确定一个（非回归）精炼方程，以企图描述复杂系统的演化进程。

该系统与目前市场上的“系统交易软件”不同之处是：应用了一系列数值算法和物理学原理，如运用鞅方法与不动点理论，对金融市场交易进行非线性动态规划，遵循反向与惯性行为交易策略，实现学习进化争当少数人获胜博弈；对股票（期货）市场进行数据挖掘并根据市场演化将各种模型进行动态的、有机的组合，最终实现投机操作。

相信在金融市场中，战略弹道导弹与“中华神盾”防御系统的军备竞赛已在非线性科学领域中展开。

参考文献

[1] 杨小凯，杨小凯谈经济，中国社会科学出版社，2004

[2] 成思危，复杂科学与管理，南昌大学学报：人文社科版，2000，(3)

[3] 宋学锋，金融市场复杂性研究综述，管理科学与系统科学研究新进展——第6届全国青年管理科学与系统科学学术会议论文集，2001年

[4]  Benoit Mandelbrot. How Long is the Coast of Britain，statistical Self Similarity and Fractional Dimension, Science. 1967. 156:636~638.